Matematik

Kolla engelska sidan där finns mer, you'll find more in my english math page.

Att räkna för hand, addera, dra ifrån, multiplicera, dividera och lite annat. Utan miniräknare eller kalkylator.

Navigering: med pilen kommer du tillbaka till där du senast var, med topp kommer du till överst på den här sidan.

Här kommer ett antal (mycket) förenklade begreppsdefinitioner inom elementär matematik som jag haft nytta av i livet. Ett uppslagsverk begränsat till sånt man verkligen har nytta av, för mig själv och vem som vill...

Som synes är detta under en rudimentärt begynnande utveckling, men det kommer!

meddela mig när du har någon relevant synpunkt (uppenbara fel..., saknade länkar mm) eller önskemål! Tack för alla synpunkter som redan har inkommit!

24/5 år tvåtusensex

Vad innebär Rubrikformeln?

Absolutbelopp, abs skrives mellan två lodräta balkar | x |, och betyder ett tal som alltid är positivt, d.v.s.
x om x > 0,
0 om x = 0 och
-x om x <0.
| x | 0 med likhet endast när x = 0.

topp

Algebra (mots. aritmetik) är att räkna med bokstavssymboler vilket ger större allmängiltighet.
topp

Algebraiskt (mots. transcendent) är ett tal som är rot till en algebraisk ekvation med heltalskoefficienter. Ex.: 3, kvadratroten ur två.
topp

Area. Anglicering i stället för det svenska ordet yta som infördes någon gång på 1970-talet. Ytan hos en kvadrat är längden*bredd, ytan hos en triangel är (höjd * bredd)/2. Ytan hos en cirkel är , Ytan hos ett klot är . Ytan under en funktion kan ofta beräknas med en integral.
topp

Aritmetik (mots. algebra) att räkna med hela tal, addition, division etc.
topp

Cirkeln. Omkrets , yta
Cirkelns ekvation i implicit form t.ex., i explicit form De positiva resp negativa värdena är övre resp undre halvcirklarna. Jämför vinkel.
topp

Definitionsområde (jmfr värdeförråd) är de möjliga värden som en oberoende variabel (typ x i någon funktion) kan anta.
topp

Derivata (mots. integral) är lutningen hos en kurva (funktion) i en viss punkt.
topp

e är den naturliga logaritmens bas. Ett transcendent tal med värdet 2,71828... Talet erhålles som gränsvärde med

topp

Explicit (mots. implicit) är en ekvation som skrivits så att den beroende variabeln står ensam till vänster typ y = 3x + 5.
topp

Fakultet är produkten av 1 * 2 * 3...n och skrives n!. 0! = 1 liksom 1!
Ex.: 3! = 6, 4! = 24, 7! = 5040
topp

Funktion. En regel eller föreskrift för hur tal är beroende av varandra som ett antal kugghjul. Betecknas ofta med f, u, v, g. Ändrar man ett tal ändras också ett annat. Dessa kallas variabler. Den man ändrar kallas oberoende variabel, det andra talet kallas beroende variabel.
En funktion f som är beroende av x skrives t.ex ofta som.y = f(x) där x är oberoende variabel och y är beroende. Vill man ange funktionens erhållna värde för ett visst bestämt värde hos den oberoende variabeln kan man skriva eller allmänt för alla x
Ex.: Se funktion f där   y = 2 x + 3 (eller f(x) = 2 x + 3). Sätter vi x = 2 blir y = 7 som också kan skrivas f(2) = 7
I t.ex. funktionen t = u(s) utgör alla värden som s kan anta funktionens definitionsområde och alla värden som t därmed erhåller utgör funktionens värdeförråd.
Om man skriver den beroende variabeln ensam på ekvationens vänstra sida skriver man den i explicit form. Om den beroende variabeln själv ingår i ekvationen säges den vara skriven i implicit form. Se cirkeln för exempel på explicit och implicit form.
topp

de elementära funktionerna är polynom, rationella funktioner, exponentialfunktionen, potensfunktionen, logaritmfunktioner, trigonometriska funktioner (sin, cos, tg, cot) samt arcusfunktioner (arcsin, arccos, arctg, arccot).
topp

Graf. Det samma som kurva. Ett (stort) antal punkter som åskådliggör värden hos en funktion.
topp

Grekiska alfabetet. Bara att lära sig rabbla!. Man har alltid nytta av att kunna det. Här i en rytm också som funkar.
topp

	epsilón uttalas med betoning på sista stavelsen
	omikrón uttalas också med betoning på sista stavelsen
	Även ypsilón uttalas med betoning på sista stavelsen

topp

Hypotenusan är den sida som står emot den räta vinkeln i en rätvinklig triangel. Övriga två sidor kallas kateter. topp

Implicit form (mots. explicit) är en ekvation som är skriven utan att den beroende variabeln står ensam.
Ex.: cirkelns ekvation skrives ofta enklast som där y vanligen är den beroende variabeln.
topp

Invers. Två funktioner är inversa om deras grafer är symmetriska via linjen y = x. Man kan skapa inversa funktioner genom att låta x och y byta plats och sedan t.ex. åter skriva den explicit.
Ex.: vad är inversen till y = 2x - 1? (svar i nästa nummer...)
topp

Integral (mots. derivata) är ytan under en funktion (kurva) inom ett visst område. topp

Katet (pl kateter) är de sidor i en rätvinklig triangel som inte står emot den räta vinkeln (där motstående sida kallas hypotenusa)
topp

Klot (= sfär). Klotets yta , klotets volym
topp

Liksidiga och likbenta rätvinkliga trianglar har enkla, bestämda värden på sidorna och därmed de trigonometriska funktionerna. I den likbenta triangeln är hypotenusan (pytagoras sats) roten ur två, i den liksidiga är höjden (pytagoras sats) roten ur tre.

topp

Linje. y = kx + b (grundformen för en rät linje) där k, linjens lutning, kallas riktningskoefficient. Två linjer 1 och 2 är vinkelräta om det för vinkelkoefficienterna gäller att
Lutningen i en viss punkt hos mer komplicerade funktioner får man med hjälp av derivering.
Linjens ekvation kan man bl.a. få enkelt med tvåpunktsformen.

topp

Logaritm skrives log, ln, m.m. Om man upphöjer talet 10 till två får man värdet 100. Denna siffra 2 är 10-logaritmen för 100 och talet 10 är logaritmens bas. 10-logaritm kan skrivas men numera ofta enbart log. Ofta används talet e som bas vilket kan skrivas eller ln, denna logaritm kallas naturlig. I äldre läroböcker i högre matematik skrevs naturliga logaritmer enbart log, och om man uttryckligen ville använda 10-logaritmen så skrev man detta som Logaritmen för den egna basen är alltid ett (ln e = 1, 10 = 1 eller för vilken bas som helst a = 1). Logaritmen för 1 är noll. 0,00001 = -5
Innan moderna kalkylatorer kom i bruk använde man tabeller eller räknestickor för att räkna med logaritmer.

topp

Olikheter kan vara mycket praktiskt att räkna litet med. a > 3 betyder a är större än tre och a < 7 betyder a är mindre än sju. Räkna som vanlig enkel ekvation, men om man dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal byter olikheten riktning (kallas relationsändring).
Ex.: vad är x här:
2x - 4 > 6     svar: x > 5 (första steget ger 2x > 10)
6 - x > 3       svar x < 3 (första steget -x > -3 multiplicera eller dividera med -1 ger svaret och relationsändring)

ON-system (ortonormerat koordinatsystem). Ett koordinatsystem där vinkeln mellan koordinataxlarna x och y är nittio grader (pi/2) och axlarna är enhetsvektorer med storleken 1.
topp

Origo är den punkt där axlarna korsar varandra i ett koordinatsystem.
topp

pi (grek. ) är ett transcendent tal med närmevärdet 3,141592... (nära 22/7 eller ännu bättre 355/113). Bl.a. kvoten mellan en cirkels omkrets och diameter. Värdet 3,14 räcker för de allra flesta numeriska beräkningar.
topp

Pytagoras sats I en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan lika med summan av kateternas kvadrater.
topp

Rationella tal (jmfr talsystem) är tal som kan uttryckas exakt med bråkstreck och hela tal m/n typ 1/4, 7/16, -8/3, övriga tal på tallinjen är reella.
topp

Rot till funktion. Tal som satisfierar en ekvation.
Ex.: Skriv ekvationen y = x -5 som y - x + 5 = 0
Kan man ge x något värde så att y verkligen blir noll? Ja, om x ges värdet 5 blir y - 5 + 5 = 0. Talet 5 är rot till ekvationen.
topp

Rot till ett tal. Kvadratrot till ett reellt tal x är sådant att talet multiplicerat med sig själv är x. Nämnes ofta enbart roten ur.
Ex.: Kvadratroten ur 4 skrives och är det tal som multiplicerat med sig själv blir 4, alltså 2. betyder det tal som multiplicerat tre gånger med sig själv blir 8, alltså 2*2*2 = 8.
topp

Rubrikformeln. (första) derivatan för naturliga logaritmen för absoluta beloppet av x är 1/x. D är alltså ett alternativt sätt för att beteckna derivata.
topp

Sinuskurva bildas av vinkeln i en rät triangel med radien (hypotenusan) = 1. Sinus är då värdet av motstående katet vilken här är lika med y-värdet i det rätvinkliga koordinatsystemet.

Av figuren framgår tecknen där de övre kvadranterna är positiva (eftersom y där är positivt), och de undre kvadranterna är negativa.
Ex.: sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, sin 270 = -1 och sinus för ett helt varv är noll.
När man ritar Y-värdena som funktion av x (t.ex. tiden), får man kurvan:

topp

Talsystemen i matematiken är t.ex. de
naturliga talen   1 , 2,  3, ...
hela talen ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...,
rationella talen b/a där a och b är hela tal och a 0
reella talen, som omfattar de rationella men även sådant som inte kan uttryckas i heltalsbråk t.ex. och .
Alla dessa tal kan representeras på tallinjen.
topp

Transcendent säges ett tal vara som inte kan uttryckas algebraiskt.
E x.: talet e, pi
.topp

Trigonometri är läran om hur vinklar är relaterade till sidorna i en rätvinklig triangel. För en vinkel i triangeln definieras följande vanliga funktioner: sinus är motstående katet/hypotenusan, cosinus är intilliggande katet/hypotenusan, tangens är motstående katet/intilliggande katet,(cotangens är intilliggande katet/motstående katet). Funktionerna skrives sin, cos, tg (tan). Av detta följer att tg 90grader inte är definierad, eftersom täljaren inte kan vara noll.

H =hypotenusa, K = Katet, m = motstående, i = intilliggande.
Viktiga samband för några trigonometriska funktioner är den trigonometriska "ettan"
topp

Tvåpunktsformen.(jmfr linjen) Känner man två punkter och i ett tvådimensionellt ON-system får man den räta linjens ekvation med

Uttrycket med bråkstreck ovan är lutningskoefficienten k.
topp

Vinkel är ett ordnat par halvstrålar utgående från samma punkt (= vinkelns spets). Storleken på en vinkel mäts motsols som cirkelbågen mellan vinkelbenen i en cirkel där radien = 1. Enheten är bågmått eller radianer. En vinkel som omfattar hela omkretsen blir då cirkelns omkrets (eftersom radien r = 1).

Naturligt är att lägga vinkeln i ett koordinatsystem med spetsen i origo och ena vinkelbenet i x-axeln. Vinkeln är bågen x i figurerna.
(Sedan gammalt har man delat in omkretsen i grader, streck m.m., oftast räknat medsols. Om ett varv sätts = 360 grader, får vi sambandet grader/180 = radianer/pi d.v.s.
och

180 grader blir då = pi, 45 grader blir pi/2 etc.)
topp

Värdeförråd (jmfr definitionsområde) utgör alla de värden som en beroende variabel kan anta (typ y i någon ekvation).
topp