Matematik

Att räkna för hand utan miniräknare verkar vara något som människor har glömt bort i denna elektronikens och miniräknarnas värld (år 2008). Livsfarligt!

En förutsättning är att du kan hela multiplikationstabellen perfekt utantill, åtminstone till och med nians, men helst upp till tolvan eller mer. Bara att rabbla! Lika viktigt som att kunna räkna upp heltal (one, two, tree, four...), att kunna alfabetet (abcdefghijklmn...) eller att skriva på ett tangentbord

I sammanhanget passar det bra med lite elementäraste algebra, lite regula de tri samt en gnutta förhållanderäkning. Därmed klarar man det mesta.

Varteftersom kunskapsnivåerna sjunker i skolorna säker lärarna och deras topporganisationer (Skolöverstyrelsen - Statens skolverk..) förtvivlat att finna genvägar för att få igenom fler elever.

Det värsta var nog CIA-skolans mängdlära som torpederade flera årskullar, låt oss glömma det för evigt.
En annan sak var liggande stolen, ett begrepp som många har hört talas om, men få behärskar. Det gäller division, där man placerar täljare och nämnare bredvid varandra och svaret överst;, vad beträffar själva hjärnans krav på arbete i operationerna sparar man ingenting. Det är inte lätt att förstå hur man kom upp med det mönstret, det finns i verkligheten inga genvägar utom kalkylatorn. Den senare underlättar mycket, så länge som det finns färska batterier och ström i eluttagen...

Litteratur
Cecilia Hallströms examensarbete om bråkbegreppet

topp

...UNDER UTVECKLING...

Addition - lägga ihop "plussa"
Subraktion - dra ifrån "minus"
Multiplikation - "gångra"
Division - dividera, dela

några allmänna begrepp
addend, faktor, subtrahend, dividend, divisor, kvot, multiplikand, multiplikator, produkt, täljare, nämnare

Addera m- lägga ihop tal

Man ställer upp talen exakt ovanför varandra med sista siffrorna längst till höger och lägger ihop siffrorna en i taget.

Subtrahera, dra i från

topp

Multiplicera "gångra"
Tecknen för multiplikation är antingen en punkt (som skrives uppe i mitten och inte längst ner) eller ett x.

Principen är att man håller reda på var decimalkommana står och att man tar en siffra i taget från höger.
topp

Dividera
exempel A 2364 : 5
exempel B 1/3
exempel C 2 : 13
exempel D (x3- 3x2 + 7x -21)/(x - 3) ett polynom alltså

Detta är den viktigaste och svåraste operationen, och man måste vara mycket noga med hur man ställer upp det hela.
Tecken för division är bråkstreck / eller kolon : På moderna datatangenter och miniräknare brukar man skriva en kombination av både bråkstreck och kolon för att vara säker på att det ska framgå vad som menas.

topp

Exempel A
dividera 2364 med fem!
Enklast är att använda exemplifieringsmetoden, dvs vi räknar igenom ett enkelt, praktiskt exempel. Så länge det är hela tal och det större talet ska delas med det mindre är det mycket lätt

2364 : 5 =

ställ upp det så här, lämna en liten extra bit mellan talet till vänster och kolontecknet.
Nu räknar vi från vänster i det större talet och ställer oss frågan "hur många gånger går 5 i 23?"
Vi inser omedelbart att fem i 23 går 4 gånger och detta blir svarets första siffra, vilken vi skriver till höger om likhetstecknet

2364 : 5 = 4

Nu ska vi multiplicera 4 med 5 och dra resultatet ifrån vårt 23 som vi började med, 23 minus 20 är 3 och vi skriver det rakt under 23 under den sista siffran. Varje gång vi skriver ett streck på det här sättet betyder det att vi ska dra ifrån

2364 : 5 = 4
20
3

nu ska vi ta nästa siffra vilket är 6 i 2364, vi flyttar ner den så att den hamnar bredvid vår 3:a

2364 : 5 = 4
20
36

Så fortsätter vi genom att fråga "hur många gånger går 5 i 36". det går 7 gånger och blir 35 (multiplikationstabellen!) och vi skriver en sjua i svaret, multiplicerar 5 * 7 och skriver ut resultatet på samma sätt som ovan

2364 : 5 = 47
20
36
35
1

vi flyttar nu ner nästa siffra och frågar oss "hur många gånger går 5 i 14?"

2364 : 5 = 47
20
36
35
14

det går förstås två gånger, varför vi får en tvåa i svaret. (2 * 5 = 10), så vi skriver det rakt under 14 och drar ifrån

2364    : 5 = 472
20
36
35
  14
  10
   4

Nu har vi kommit till ett kritiskt ställe. Vi har räknat ut att 5 går 472 gånger i 2364 och att det bler en fyra över. Man säger att det bildas en rest på 4. Vi kan nu fortsätta divisionen och börjar nu med eventuella decimaler, Vi vet att det inte blir några flera heltalsiffror i svaret, så vi sätter ut ett decimalkomma och har nu rätt att lägga till en nolla till resten. Med detta trick kan man hålla på så länge man vill

2364    : 5 = 472,
20
36
35
  14
  10
   40

Vi frågar nu "hur många gånger går fem i fyrtio?" Jo, det går ju 8 gånger och vi fortsätter precis som förut

2364    : 5 = 472,8
20
36
35
  14
  10
   40
        40
          0

Nu blir det inga fler siffror, divisionen är klar, och svaret är
2364/5 = 472,8 eller 472 hela gånger och fem tiondelar vilket vi till exempel också kan skriva

472 och 5/10

topp

Exempel B,
ett delat med 3, eller en tredjedel eller 1/3, vad blir det i decimaltal?

ställ upp som vanligt

1 : 3=

Hur många gånger går tre i ett ("hur många gånger går tre tårtor i en tårta"). Jo, det går ju förstås ingen hel gång, varför den första siffran i svaret blir en nolla omedelbart följd av ett decimalkommatecken, för nu ska vi räkna med decimaler och få fram tiondelar, hundradelar o.s.v.

1 : 3 =0,

nu har vi rätt att lägga till en nolla och får 30 i dividenden (det vi ska dividera), nu ser vi varför det är lämpligt att lämna ett litet extra utrymme före kolonet bredvid det första talet

10 : 3 = 0,

nästa fråga blir förstås "hur många gånger går 3 i tio?" Jo, det går tre gånger och vi multiplicerar 3 med 3, ställer upp och drar ifrån som i Exempel A.

10 : 3 =0,3
9
1

så fortsätter vi så länge vi behagar

10 : 3 = 0,333...
9
10
  9
  10
   9
   10

man inser snart att treorna upprepas om och om igen, 0,33333... det är helt enkelt så man uttrycker 1/3 (en tredjedel) med decimalkomma, det blir alltså inte exakt som när man skriver 1/3, men vi kan komma hur nära som helst.

topp

Exempel C
dividera 2 med tretton eller vad är 2/13 eller 2 :13?

2 : 13 =

Vi har ställt upp som vanligt och börjar med att fråga "hur många gånger går 13 i två?" Det går förstås ingen hel gång, man kan inte pula in tretton äpplen i två äpplen... Den första siffran i svaret blir således noll omedelbart följd av ett decimalkomma:

2 :13 = 0,

nu när vi har passerat decimalkommat får vi lägga till en nolla till dividenden två (se nedan), 13 i tjugo går en gång och så kan vi lägga till en nolla igen och fråga hur många gånger går 13 i 70? Om vi inte kan 13:s multiplikationstabell utantill får vi söka oss till svaret på något vis. Kan det gå 7 gånger? Nej det blir för mycket, 7 gånger 13 = 91. Försök med fem gånger, fem gånger tretton är 65, ja, det går in i 70, det blir 5 över

20 : 13 = 0,15
13
70
65
5

och så fortsätter vi så länge vi behöver

20   : 13 = 0,153846
13
70
65
  50
  39
  110
  104
    60
    52
     80

resultatet visar sig bli sådant att decimalerna upprepas i det oändliga. Men så långt behöver vi sällan eller aldrig gå. Om exemplet hade gällt till exempel att dividera distans/fart för att räkna ut tiden, räcker det ofta med bara en enda decimal. Vi får alltså tiden 0,1 timmar och då återstår att beräkna hur många minuter detta är, alltså hur många sextiondelar är 1 tiondel? Detta kan vi göra med förhållanderäkning.

topp

exempel D (polynom) x3- 3x2 + 7x -21 delat med x - 3

uppställning helt som vanligt

x3 - 3x2 + 7x - 21 : x - 3 =

Hur många gånger går x i x3, d.v.s. vad ska vi multiplicera x med för att få x3? Jo, x2 förstås, så vi multiplicerar hela x - 3 och ställer upp subtraktionen som vanligt

x3 - 3x2 + 7x - 21 : x - 3 = x2
x3 - 3x2
7x - 21

vi flyttar ner återstående faktorer och frågar oss "hur många gånger går x i 7x", svaret förstås minus 7 gånger, vi multiplicerar med minus sju och subtraherar svaret

x3 - 3x2 + 7x - 21     : x - 3 = x2 -7
x3 - 3x2
           7x - 21
         -(7x + 21)
            0

ingen rest, saken är klar, svaret är x2 + 7 gånger x - 3 är x3 - 3x2 + 7

topp

Algebra
Ett likhetstecken anger att det som står till vänster är lika det som står till höger.
Det är som en våg, lägger man till något på den ena vågskålen måste man lägga till samma sak på den andra vågskålen

a = 1	a har värdet ett och inget annat
a = b	om b ändras så ändras också a. Det är samma som att skriva b = a. sidorna kan således byta plats.
a * 1 = b * 1	Vi har multiplicerat båda leden med ett. Det ändrar ingenting alls då varje sak multiplicerad med ett är bara saken själv.
a/a = b/a	vi har delat båda sidor med a. Men a delat med sig själv blir ett. Det gäller allting som delas med sig själv. Så vi kan också skriva detta 1 = b/a eller b/a = 1
a * a = b * a	vi har multiplicerat båda sidor med a. a * a (aa, eller a gånger a) kan vi skriva a2 vilket man kallar a upphöjt till två.
a + 1 = b + 1	här har vi adderat (lagt till) värdet ett i båda vågskålarna. Vi kan dividera båda leden med b + 1 och får då a + 1/b + 1 = 1 eftersom allting dividerat med sig själv blir ett, även till exempel b + 1
a = bc	a är b multiplicerat med c. En vanligt fall är U = RI dvs spänningen är lika med motståndet gånger strömstyrkan. Ofta söker man nu b eller c ensamt på ena sidan om likhetstecknet.
a/b = bc/b	Vi dividerar båda vågskålarna (i a=b/c) med b. Men b/b är ju lika med ett och vi får således c ensamt på ena sidan om likhetstecknet: c = a/b
a/c = bc/c	Vi dividerar båda sidorna med c (i a=b*c) här får vi alltså b ensamt: b = a/c

topp

Regula de tri. Denna flera hundra år gamla, beprövade regel säger att om tre faktorer är beroende av varandra kan man alltid räkna ut en tredje om man känner två. Obs att t.ex. VT är detsamma som V * T, vi kan alltså när som helst strunta i gångertecknet om det gäller bokstavssymboler.

Praktiska fall

Vägen = farten gånger tiden
s =vt eller D=FT (distans = fart * tid). Då inser man lätt att
v = s/t, att t = s/v etc.

Koncentrationen = antal moler dividerat med volymen
c = M/V Vill man räkna ut volym gör man
V = M/c och antal moler blir M = cV

Densiteten = massan delat med volymen
D = m/V och
m = D * V resp V = m/D

Spänningen = strömmen gånger motståndet
U = RI och
R = U/I resp I = U/R

Ur vilken som helst kan man få en faktor ensam på ena sidan genom att divider eller multiplicera och sedan förkorta.

topp

Förhållanderäkning

I recept förekommer ofta att man måste räkna ut hur mängden övriga ingredienser ändras när man vill ändra en av dem.. Antag det ska vara 100 gram socker till 150 gram mjöl, hur mycket socker ska vi då ha till 120 gram mjöl (om vi bara har 120 gram mjöl)?

Vi kallar mängden socker för något neutralt, det är ytterst vanligt att man i skolmatten använder bokstaven x för en obekant storhet.

Uppställningen blir svaret på frågan "120 förhåller sig till 150 som x till 100?" vilket skrives så här

120/150 = x/100

alltså vanlig enklaste algebra. Vi vill ha x ensamt på ena sidan om likhetstecknet. Genom att multiplicera båda "vågskålarna" med 100 kan vi korta bort 100 och får

x = (100 * 120)/150

Vi multiplicerar 100 med 120 och delar sedan alltihop med 150, resultatet blir 80, vi ska alltså ta 80 gram socker om vi bara vill använda 120 gram mjöl.

När det gällar att beräkna flera förhållanden är det kanske enklare att direkt ta fram ett decimaltal och använda det som faktor.
Här får vi alltså 120/150 = 0,8 som vi multiplicerar vart och ett av receptets ingredienser med. Mängden socker blir alltså 100 gånger 0,8 = 80

Ett annan fall är när vi vill beräkna sextiondelar ur tiondelar.

Antag vi har beräknat hur lång tid det tar att köra 12 distansminuter med 5 knop. Vägen (distansen i Nm) är hastigheten (i knop) gånger tiden och tiden är således vägen delat med hastigheten, resultatet blir 12 : 5 = 2,4

2 hela timmar alltså och 4 tiondelar. Men hur många sextiondelar är 4/10?

Vi sätter antalet minuter till x och ställer upp 4 förhåller sig till 10 som x till 60

4/10 = x/60

vi får x = 4 * 6 och inser att om det bara gäller att få fram minuter (och inte sekunder eller hundradelar) duger det oftast med att bara multiplicera första decimalen med sex för att få minuterna.

Här fick vi alltså 24 minuter, alltså nästan en halv timme.

topp